La file M/M/1

Une file M/M/1 suit une loi exponentielle pour l’arrivée et le service des clients. Une file M/M/1 est représentée comme suit :

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Dans la majorité des cas, le client dans un service est compris dans le nombre de clients dans la file d’attente.

Le nombre de clients dans la file se modélise par la chaîne de Markov à temps continu suivante :

proba57

Les probabilités stationnaires existent car la chaîne est irréductible. Notons p(n) la probabilité que le nombre de clients dans la file N(t)=n quand t tend vers l’infini. Les équations d’équilibre donne le système suivant :

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Si on pose ρ=λ/μ alors on trouve p(n)=ρnp(0), ce qui implique :

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Nous en déduisons que la file est stable si ρ<1. C’est à dire que le temps moyen de traitement d’un client est strictement inférieur au temps d’arrivée moyen d’un client (soit le temps moyen entre 2 arrivées de clients). Le file est instable si ρ≥1, dans ce cas les clients s’accumulent à l’infini dans la file d’attente.

Tous les paramètres de performance sont calculés en régime stationnaire dans le cas où la file est stable. Si on applique la loi de Little et les mesures de performance aux files M/M/1 (et plus généralement aux files M/M/S), avec ρ=A :

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