Problème de planification

Méthodes :


Introduction aux problèmes de planification

La planification est l’organisation de la réalisation d’objectifs dans un domaine précis, avec différents moyens, et sur une durée/hiérarchie. Le résultat de ce problème est un « plan » répondant de façon détaillée sur les questions du type QQOQCC : qui, quoi, où, quand, comment et combien.

Le problème de planification permet, selon les conditions et les informations, de répondre aux questions suivantes :

    • Comment gérer l’enchaînement logique des tâches et les répartir dans le temps ?
    • Comment analyser les charges de travail demandées aux ressources ou moyens s’ils sont limités ?
    • Comment exprimer un besoin en ressources ou moyens s’ils ne sont pas limités ?
    • Comment prendre en compte des contraintes extérieures au projet (commande client, livraison fournisseur, etc.)  ?
    • Comment analyser les conséquences d’un écart entre évènements réels et prévus ?
    • Comment identifier des dates de début au plus tard, ou de fin au plus tôt, des activités ?
    • Comment simuler des hypothèses optimistes, pessimistes, ou la plus probable ?
    • Comment analyser l’impact d’un aléa ou d’un risque s’il se transformait en problème ?
    • Comment prioriser les tâches ?

Le problème d’affectation est lié à de nombreux autres problèmes de la recherche opérationnelle (réduction de problèmes dans les 21 problèmes de Karp par exemple). Nous verrons ici deux sous-problèmes fréquemment rencontrés dans les problèmes d’affectation.

Sous-problème : l’ordonnancement

Le problème d’ordonnancement est un problème de planification de tâche dans lequel il s’agit de décider de l’ordre dans lequel les tâches doivent être exécutées. Ce problème est Np-difficile compte tenu de la variété et la complexité de ses contraintes.

Les différentes méthodes présentées dans ce cours permettent de faire apparaître clairement et rapidement les données liées à la réalisation d’un plan, telles que :

  • les temps, les délais
  • les moyens, ou ressources
  • les coûts.

Le problème d’ordonnancement classique est le suivant :

Soient N tâches Ti nécessitant une durée di donnée et de date de début ti à déterminer. Le problème est soumis à deux types de contraintes : des contraintes de temps  – durée des tâches et précédences ; des contraintes de ressource – disjonctive : si les tâches i et j sont effectuées sur la machine k, elles doivent être faites dans tel ordre; ou cumulative : la tâche i consomme aik de la ressource k. La ressource k a une capacité Ak. À tout instant, la somme des consommations sur la machine k doit être inférieure à sa capacité.

 

Sous-problème : l’affectation

Ce problème consiste à attribuer au mieux des tâches à des agents. Chaque agent peut réaliser une unique tâche pour un coût donné et chaque tâche doit être réalisée par un unique agent. Les affectations (c’est-à-dire les couples agent-tâche) ont toutes un coût défini, le but étant de minimiser le coût total des affectations afin de réaliser toutes les tâches. Ce problème se résout en temps polynomiale.

Étant donné un ensemble d’agents S et un ensemble de tâches T, il est possible de modéliser le problème par un graphe biparti G=((S,T),E), avec une fonction de poids c sur les arêtes. Le problème d’affectation consiste donc à trouver un couplage parfait F⊂E minimisant la somme ∑e∈F c(e)  des poids des arêtes de F.

Sous-problème : le transport

A l’instar des deux précédents problèmes, le problème de transport est une maximisation.

Compte tenu des offres ou sources et des demandes, comment établir un plan permettant de maximiser les profits.

transport.png

 

Si la somme des sources est égale à la somme des demandes, le problème est dit équilibré, dans ce cas les contraintes deviennent des égalités. Dans le cas contraire, on crée un point de demande virtuelle correspondant à l’offre excédentaire et avec un coût de transport nul.

Le problème de transport est souvent représenté comme un graphe biparti avec un problème de flot (couplage). Nous montrerons ici d’autres variantes permettant de résoudre ce problème.

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