Modélisation mathématique

Face à un problème lié à l’aide à la décision, la première étape (et la plus importante) consiste à analyser le problème afin d’en construire un modèle mathématique. Ce modèle répond à un processus de réflexion appelé « méthode scientifique » qui consiste en cinq étapes :

  1. Aspects mathématiques : l’analyse du cahier des charges permets d’en ressortir les contraintes et les objectifs du modèles. Les contraintes et les objectifs doivent pouvoir s’écrire à l’aide de l’algèbre et de la logique.
  2. Modélisation : suite à la compréhension mathématique du problème, l’étape de modélisation consiste à trouver le meilleur outil pour représenter le modèle. Parmi ces outils, nous pouvons citer la théorie des graphes, la théorie des jeux, la programmation linéaire, la programmation par contraintes etc.
  3. Analyse et résolution : suite à la modélisation, il faut être capable d’analyser la complexité en temps et en espace du modèle après l’avoir modéliser d’un point de vue algorithmique.
  4. Implémentation et résultats : il faut trouver la meilleure manière d’implémenter l’algorithme que ce soit en méthode de programmation ou en langage afin de créer le logiciel le plus pertinent et efficace possible.
  5. Déploiement des solutions : la dernière étape consiste à valider le modèle créer par la résolution d’autres problèmes de la même forme que celui d’origine.

Le modèle mathématique est donc à la base de tout le travail ingénierie. Un modèle mathématique se caractérise par trois notions :

  1. La présence de choix, à faire parmi un ensemble fini (notion que l’on peut rapprocher de la théorie des probabilités)
  2. Un principe de contraintes définissant l’ensemble fini des choix
  3. Un principe d’évaluation des choix disponibles

Exemple 1

Un industriel possède trois usine adapté dans la fabrication de deux produits. Chaque lot de produit lui rapporte une certaine somme, et il connait le nombre d’heure nécessaire pour la fabrication de  chaque type de lot dans ses usines.

decision1

L’industriel voulant maximiser son profit, il faut donc trouver la meilleure production possible.

Posons des variables de décision :

  • x1 = le nombre de lots du produit 1
  • x2 = le nombre de lots du produit 2

Posons la fonction objectif:

  • z = le profit total (en milliers d’euros)
  • z = 3 x1 + 5 x2 (d’après la dernière ligne du tableau)
  • max z, c’est à dire que nous cherchons la valeur maximale que peut prendre z

Posons les contraintes :

  • x1 ≤ 4 (deuxième ligne du tableau)
  • 2 x2 ≤ 12 (troisième ligne du tableau)
  • 3 x1 + 2 x_2 ≤ 18 (quatrième ligne du tableau)
  • x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0 (le nombre de lot est toujours positif ou nul)

Ce qui donne le modèle mathématique suivant :

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Ce qui peut se représenter d’un point de vue graphique par (l’espace des choix est en gris) :

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Exemple 2

Maintenant que l’industriel sait comment optimiser son bénéfice, il cherche à minimiser ses dépenses. Ces dernières se constituent uniquement du salaire des employés et des horaires de travail. L’industriel à estimer le nombre minimum d’employés (MinEmp) devant être affectés durant chaque période de la journée. Chaque employé doit effectué des quarts afin de maximiser son temps de présence, une journée possède quatre quarts de travail et ces derniers demandent une rémunération particulière. L’ensemble des données est décrit dans le tableau suivant :

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Posons des variables de décision :

  • x1= le nombre d’employés sur le premier quart
  • x2= le nombre d’employés sur le deuxième quart
  • x3= le nombre d’employés sur le troisième quart
  • x4= le nombre d’employés sur le quatrième quart
  • x5= le nombre d’employés sur le cinquième quart

Posons la fonction objectif:

  • Z = le coût total
  • Z = 170 x+ 160 x+ 175 x3+ 180 x4+ 195 x(d’après la dernière ligne du tableau)
  • min Z, c’est à dire que nous cherchons la valeur minimale que peut prendre Z

Posons les contraintes :

  • x≥ 48 (deuxième ligne du tableau)
  • xx79 (troisième ligne du tableau)
  • etc.

Ce qui donne le modèle mathématique suivant :

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